“四色定理”证明
来源:未知 2020-05-27 15:39
1852年,毕业于伦敦大学会计论文发表的格斯里(FrancisGuthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢?
“四色定理”证明
贵州省务川中学 申学勤 刘晓东 申学典 文志学
贵州省务川县实验学校 王若仲
摘要:1852年,毕业于伦敦大学会计论文发表的格斯里(FrancisGuthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢?1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是“四色猜想”成了世界数学界关注的问题,世界上许多一流的数学家都纷纷参加了“四色猜想”的大会战。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对“四色猜想”证明的进程。1976年6月,由美国数学家阿佩尔(Kenneth Apprl)和哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿次判断,结果没有一张地图是需要五色的,最终证明了“四色定理”。我发现“四色定理”还有一种简捷的证明方法,就是利用球面几何的知识来证明“四色定理”。也就是证明在球面上能设计出这样的组合图形:四个独立封闭图形A、B、C、D,任意两两独立封闭图形均有公共边界,并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。证明在球面上不能设计出这样的组合图形:五个独立封闭图形A、B、C、D、E,任意两两独立封闭图形均有公共边界,并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。证明的方法就是把球面上的点看作是独立封闭图形,球面上点与点之间的连线段看作是独立封闭图形与独立封闭图形的公共边界。什么是独立封闭图形?就是指平面上或球面上一个封闭图形,如果这个封闭图形内没有其它的封闭图形,我们则称这个封闭图形为独立封闭图形。什么是直接连接?就是指平面上或球面上点与点之间的连线段,除了连线段的两边端点外,中间不经过其它的已知点,中间不与其它的连线段相交。如此,则说明不管多复杂的球面或平面组合图形,其中不可能出现全部或部分有五个独立封闭图形A、B、C、D、E,任意两两独立封闭图形均有公共边界,并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的论文发表情形。
关键词:四色定理;球面几何;线段;相交
中图分类号:0156
引言
1852年,毕业于伦敦大学的物流论文网格斯里(FrancisGuthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢?他和他正在读大学的弟弟决心试一试,但是稿纸已经堆了一大叠,农业技术论文研究工作却没有任何进展。1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是“四色猜想”成了世界数学界关注的问题。
高速数字计算机的发明,促使更多数学家对“四色问题”的研究。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对“四色猜想”证明的进程。就在1976年6月,由美国数学家阿佩尔(Kenneth Apprl)和哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿次判断,结果没有一张地图是需要五色的,最终证明了“四色定理”。
尽管随着计算机的普及,绝大多数数学家对“四色定理”的证明没有疑问,但某些数学家对经由电脑辅助的证明方式仍旧不够满意,希望能找到一个完全“人工”的证明。
一 连线段
定义1:平面上或球面上任意A、B两点之间有一条连线连接,我们则称这条连线为A、B两点之间的连线段。
比如:A B,A B,A B。
定义2:球面上任意A、B两点之间有这样的一条线连接,即以球体中心点O为中心点,以OA或OB为半径,从A点到B点或从B点到A点作一扇形,这样球面上就得到从A点到B点或从B点到A点的一条线连接,这样的一条线称为球面上A、B两点之间的弧线段。或者球体内存在一中心点O′,使得O′A=O′B,以O′为中心点,以O′A或O′B为半径,从A点到B点或从B点到A点作一扇形,这样球面上就得到从A点到B点或从B点到A点的一条线连接,这样的一条连线也称为球面上A、B两点之间的弧线段论文发表网站。
定理1:球面上任意A、B两点之间可以作无数条弧线段连接。
证明:因为球体内存在无数个中心点O1,O2,O3,…,On;使得O1A=O1B,O2A=O2B,O3A=O3B,…,OnA=OnB。由定义2可知,定理1成立。
二 封闭图形
定义3:平面上或球面上任意两点之间有一条连线段,那么连线段两边最边端的点,称为平面上或球面上任意两点之间连线段的端点。比如:平面上或球面上任意A、B两点之间有一条连线段,A和B就是端点。
定义4:平面上或球面上任意A、B两点之间有一条线连接,而连接A、B两点的连线段(除A、B两个端点外)中间不经过其它的已知点以及连接A、B两点的连线段(除A、B两个端点外)中间不与其它的连线段相交,则称A、B两点为直接连接。
定义5:平面上或球面上任意A、B两点之间有一条线连接,而连接A、B两点的连线段(除A、B两个端点外)中间经过了其它的已知点或者连接A、B两点的连线段(除A、B两个端点外)中间与其它的连线段相交,则称A、B两点为间接连接。
定义6:球面上一条连线段与另一条连线段有交点,则称这两条连线段相交;球面上一条连线段与另一条连线段没有交点,则称这两条连线段不相交。
定义7:如果整个球面上是由一些封闭图形组合而成的球面图形,我们则称这样的球面为球面组合图形。
定义8:平面上或球面上一个封闭图形,如果这个封闭图形内没有其它的封闭图形,我们则称这样的封闭图形为独立封闭图形。
定义9:如果一个球体内有一个平面,而球体中心点在这个平面上,我们则称这样的平面为球体中心平面。
定理2:球面上A、B两点呈现为球体中心平面轴对称时,那么球面上连接A、B两点的弧线段均相等。
证明:因为球面上A、B两点呈现为球体中心平面轴对称,我们设球体中心点为O,显然OA=OB,现在以OA或OB为半径,以点O为圆心,从A点到B点作半圆;那么以连接A、B两点的直线为轴,以作的半圆为弧,这样的弧完全可以绕球面旋转一周;故定理2成立。
定理3:球面上A、B两点不呈现为球体中心平面轴对称时,那么球面上连接A、B两点的所有弧线段中,有一条弧线段最短。
证明:因为球面上A、B两点不呈现为球体中心平面轴对称,假定球面上连接A,B两点的所有弧线段中,没有一条弧线段最短;虽然OA=OB,现在以OA或OB为半径,以点O为圆心,从A点到B点作弧;显然作的弧不是半圆,那么以连接A,B两点的直线为轴,以作的弧,不可能完全绕球面旋转一周,这样就产生矛盾;故定理3成立。
定理4:球面上任意两两互不重合的A、B、C、D四点,任意两点之间作一条连线段,那么球面上必定会作出这样的图形:连线段的交点只是A、B、C、D四点论文期刊网。
证明:因为A、B、C、D为球面上任意两两互不重合的四点,我们按照一定的次序总可以把A、B、C、D设计为一个三棱锥形的四个顶点,这样的话,球面上A、B、C、D四点中,任意两点之间可以作一条连线段直接连接,那么球面上必定会出现这样的图形:连线段的交点只是A、B、C、D四点。故定理4成立。
定理5:球面上任意两两互不重合的A、B、C、D、E五点,如果任意两点之间作一条连线段连接,其中任一连线段(除端点外)中间不能经过其它已知点,那么球面上一定不会作出这样的图形:连线段的交点只是A、B、C、D、E五点。
证明:因为A、B、C、D、E为球面上任意两两互不重合的五点,任意两点之间作一条连线段连接,在球面上设计,可以按照如下程序操作:
我们按照一定的次序总可以把A、B、C、D这四点设计为一个三棱锥形的四个顶点,这样的话,球面上A、B、C、D四点中,任意两点之间可以作一条连线段直接连接,那么球面上必定会是这样的图形:连线段与连线段的交点只是A、B、C、D四点。这样的话,我们就可以从前面得到的球面组合图形中不难得出结论:即这A、B、C、D四点中的其中任何一点相对于其它三点,这一点则在一个封闭的图形内。如果我们再按要求直接连接EA、EB、EC、ED,不管这样连接,其中至少有一个连接使终要经过一个封闭的图形,所以其中至少有一个连接不能进行直接连接。也就是说对于球面上任意两两互不重合的A、B、C、D、E五点,如果任意两点之间作一条连线段,并且要求任一条连线段中间不能经过其它已知点,按照此要求不管怎样连接,最终得到的图形中至少会多出一个交点不在A、B、C、D、E这五点上。
我们按照一定的次序总可以在球面上先直接连接EA,直接连接EB,直接连接EC,直接连接ED;接下来还可以直接连接AB,直接连接BC,直接连接CD,直接连接DA;再可以直接连接AC;最后连接B点和D点的时候,我们还是要求直接连接,但是从前面得到的球面组合图形中不难得出这样的结论:最后连接B点和D点,要求中间不能经过其它已知点,那么连接BD使终要经过一个封闭的图形,所以按照此要求不管怎样连接,必定会多出一个交点。所以按照要求直接连接EA,直接连接EB,直接连接EC,直接连接ED,直接连接AB,直接连接AC,直接连接AD,直接连接BC,直接连接BD,直接连接CD是不可能实现的情形。也就是说,对于球面上任意两两互不重合的A、B、C、D、E五点,任意两点之间不可能均可作一条连线段直接连接。同时也说明对于球面上任意两两互不重合的A、B、C、D、E五点,如果任意两点之间作一条连线段,并且要求任一条连线段中间不能经过其它已知点,按照此要求不管怎样连接,最终得到的图形中至少会多出一个交点不在A、B、C、D、E这五点上。
综上所述,定理5成立。
定理6:球面上任意两两互不重合的A、B、C、D、E五点,如果任意两点之间作一条连线段连接,其中任一连线段(除端点外)中间不能经过其它已知点,那么球面上一定不会作出这样的组合图形:球面上的组合图形只由五个独立封闭图形组成。
证明:由定理5可知,定理6成立。
定理7:平面上能够设计出满足某一特征的组合图形,则在球面上也能设计出满足该特征的组合图形;球面上不能设计出满足某一特征的组合图形,则在平面上也不能设计出满足该特征的组合图形。
证明:在平面上和球面上设计均要满足某一特征的组合图形,因为在球面上设计可以从三维空间考虑设计,而在平面上设计只能从二维空间考虑设计,显然三维空间要好设计一些。故定理7成立。
定理8:设有独立封闭图形A、B、C、D,则平面上或球面上可以设计出独立封闭图形A、B、C、D的如下组合图形:独立封闭图形A、B、C、D中任意两两独立封闭图形均有公共边界;并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。
证明:我们在球面上设置任意两两互不重合的E、F、G、H四点,由定理4可知,球面上任意两两互不重合的E、F、G、H四点,任意两点之间均可以作一条连线段直接连接,那么球面上必定会设计出这样的图形:连线段与连线段的交点只是E、F、G、H四点。这样球面上就出现了由四块独立封闭图形组合成的球面图形,其中任意两块独立封闭图形均有公共边界,并且任意两块独立封闭图形不重合以及任意两块独立封闭图形不部分重叠。所以球面上可以设计出独立封闭图形A、B、C、D中任意两两独立封闭图形均有公共边界的组合图形,并且不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。
或者我们总可以把两两互不重合的E、F、G、H四点,根据拓扑变换,把两两互不重合的E、F、G、H四点拓扑变换为四块独立封闭图形,任意两点之间的连线段直接连接拓扑变换为公共边界,这样仍然可以得到独立封闭图形A、B、C、D中任意两两独立封闭图形均有公共边界;并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。
综上所述,定理8成立。
定理9:设有独立封闭图形A、B、C、D、E,则平面上或球面上一定不会设计出独立封闭图形A、B、C、D、E的如下组合图形:独立封闭图形A、B、C、D、E中任意两两独立封闭图形均有公共边界,并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。
证明:我们在球面上设置任意两两互不重合的F、G、H、I、J五点,假定任意两点之间可以作一条连线段直接连接,说明连线段与连线段的交点只是F、G、H、I、J五点。这样球面上就出现了只由五块独立封闭图形组合成的球面组合图形,并且满足任意两块独立封闭图形均有公共边界,任意两块独立封闭图形不重合以及任意两块独立封闭图形不部分重叠。这样的情形就与定理5和定理6的情形产生了矛盾。说明球面上任意两两互不重合的F、G、H、I、J五点,假定任意两点之间可以作一条连线段直接连接是不可能的情形。同时也说明了球面上一定不会设计出独立封闭图形A、B、C、D、E的如下组合图形:独立封闭图形A、B、C、D、E中任意两两独立封闭图形均有公共边界,并且组合图形中独立封闭图形与独立封闭图形不重合或者独立封闭图形与独立封闭图形不部分重叠。再说,即或是球面上能够设计出独立封闭图形A、B、C、D、E的组合图形,其中任意两两独立封闭图形均有公共边界,那么这样的组合图形,必定会出现独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。
由定理7可知,显然平面上一定不会设计出独立封闭图形A、B、C、D、E的如下组合图形:独立封闭图形A、B、C、D、E中任意两两独立封闭图形均有公共边界,并且组合图形中独立封闭图形与独立封闭图形不重合或者独立封闭图形与独立封闭图形不部分重叠。
综上所述,定理9成立。
三 “四色定理”证明
四色定理:平面上或球面上每幅地图都可以只用四种颜色着色。
证明:由定理7和定理8以及定理9可知,平面上或球面上每幅地图中不可能出现有五块独立封闭图形是如下这样的情形:任意两两独立封闭图形均有公共边界,并且独立封闭图形与独立封闭图形不重合或者独立封闭图形与独立封闭图形不部分重叠。故四色定理成立。
参考文献
[1]百度百科(百度网)
[2]朱德祥,初等几何研究(高等教育出版社)1985年9月第1版
[3]江苏师范学院数学系《解析几何》编写组,解析几何(高等教育出版社)1960年9月第1版
[4]朱德祥,高等几何(高等教育出版社)1983年9月第1版